PROBLEMA 1
Considere un sistema electrónico con cuatro componentes, cada uno de
los cuales debe trabajar para que el sistema funcione. La confiabilidad del
sistema se puede mejorar si se instalan varias unidades paralelas en uno o más
de los componentes. La siguiente tabla muestra la probabilidad de que los
respectivos componentes funcionen si constan de una, dos o tres unidades
paralelas:
Unidades
paralelas
|
Probabilidad de funcionamiento
|
|||
Componente 1
|
Componente 2
|
Componente 3
|
Componente 4
|
|
1
|
0.5
|
0.6
|
0.7
|
0.5
|
2
|
0.6
|
0.7
|
0.8
|
0.7
|
3
|
0.8
|
0.8
|
0.9
|
0.9
|
La probabilidad de que el sistema funcione es el producto de las
probabilidades de que los componentes respectivos funcionen.
En la siguiente tabla se presenta el costo (en cientos de dólares) de
instalar una, dos o tres unidades paralelas en los componentes respectivos:
Unidades
paralelas
|
Costo
|
|||
Componente 1
|
Componente 2
|
Componente 3
|
Componente 4
|
|
1
|
1
|
2
|
1
|
2
|
2
|
2
|
4
|
3
|
3
|
3
|
3
|
5
|
4
|
4
|
Dadas las limitaciones de presupuesto, se puede gastar un máximo de
$1000.
Use programación dinámica para determinar cuántas unidades paralelas
instalar en cada uno de los cuatro componentes para maximizar la probabilidad
de que el sistema funcione.
Solución:
xn :
número de unidades paralelas a instalar del componente n
pn(xn) :
probabilidad de que el componente n
funcione si se le instala xn
unidades paralelas
cn(xn) :
costo de instalar xn
unidades paralelas del componente n
sn :
cientos de $ que quedan disponibles para gastar en componentes
fn(sn,xn) = max
{ pn(xn) fn+1*(sn - cn(xn))}
Etapa
4 (componente 4)
|
|||||
s4
|
f4(s4,x4) = p4(x4)
|
Solución
óptima
|
|||
x4
= 1
|
x4
= 2
|
x4
= 3
|
f4*(s4)
|
x4*
|
|
200
|
0.5
|
-
|
-
|
0.5
|
1
|
300
|
0.5
|
0.7
|
-
|
0.7
|
2
|
400
|
0.5
|
0.7
|
0.9
|
0.9
|
3
|
500
|
0.5
|
0.7
|
0.9
|
0.9
|
3
|
600
|
0.5
|
0.7
|
0.9
|
0.9
|
3
|
Etapa
3 (componente 3)
|
|||||
s3
|
f3(s3,x3) = p3(x3)
f4*(s3 - c3(x3))}
|
Solución
óptima
|
|||
x3
= 1
|
x3
= 2
|
x3
= 3
|
f3*(s3)
|
x3*
|
|
300
|
(0.7)(0.5)=0.35
|
-
|
-
|
0.35
|
1
|
400
|
(0.7)(0.7)=0.49
|
-
|
-
|
0.49
|
1
|
500
|
(0.7)(0.9)=0.63
|
(0.8)(0.5)=0.40
|
-
|
0.63
|
1
|
600
|
(0.7)(0.9)=0.63
|
(0.8)(0.7)=0.56
|
(0.9)(0.5)=0.45
|
0.63
|
1
|
700
|
(0.7)(0.9)=0.63
|
(0.8)(0.9)=0.72
|
(0.9)(0.7)=0.63
|
0.72
|
2
|
Etapa
2 (componente 2)
|
|||||
s2
|
f2(s2,x2) = p2(x2)
f3*(s2 - c2(x2))}
|
Solución
óptima
|
|||
x2
= 1
|
x2
= 2
|
x2
= 3
|
f2*(s2)
|
x2*
|
|
500
|
(0.6)(0.35)=0.210
|
-
|
-
|
0.210
|
1
|
600
|
(0.6)(0.49)=0.294
|
-
|
-
|
0.294
|
1
|
700
|
(0.6)(0.63)=0.378
|
(0.7)(0.35)=0.245
|
-
|
0.378
|
1
|
800
|
(0.6)(0.63)=0.378
|
(0.7)(0.49)=0.343
|
(0.8)(0.35)=0.280
|
0.378
|
1
|
900
|
(0.6)(0.72)=0.432
|
(0.7)(0.63)=0.441
|
(0.8)(0.49)=0.392
|
0.441
|
2
|
Etapa
1 (componente 1)
|
|||||
s1
|
f1(s1,x1) = p1(x1)
f2*(s1 - c1(x1))}
|
Solución
óptima
|
|||
x1
= 1
|
x1
= 2
|
x1
= 3
|
f1*(s1)
|
x1*
|
|
1000
|
(0.5)(0.441)=0.2205
|
(0.6)(0.378)=0.2268
|
(0.8)(0.378)=0.3024
|
0.3024
|
3
|
El sistema tiene un 30.24% de
probabilidad que funcione.
Solución óptima: x1=3, x2=1,
x3=1, x4=3
De
los $1000 al colocar 3 unidades del componente 1 (costo=$300), me quedarían
$700
De
los $700 al colocar 1 unidad del componente 2 (costo=$200), me quedarían $500
De
los $500 al colocar 1 unidad del componente 3 (costo=$100), me quedarían $400
De
los $400 al colocar 3 unidades del componente 4 (costo=$400), no quedaría
dinero.
PROBLEMA 2
Imagine que tiene $5000 para invertir y tendrá la oportunidad de
hacerlo en cualquiera de dos inversiones (A o B) al principio de cada uno de
los próximos tres años. Existe incertidumbre respecto del rendimiento de ambas
inversiones. Si invierte en A, puede perder todo el dinero o (con probabilidad
más alta) obtener $10000 (una ganancia de $5000) al final del año. Si invierte en B, puede obtener los mismos $5000
que invierte o (con probabilidad más baja) $10000 al terminar el año. Las
probabilidades para que sucedan estos eventos son las siguientes:
Inversión
|
Cantidad
Obtenida ($)
|
Probabilidad
|
A
|
0
|
0.3
|
10000
|
0.7
|
|
B
|
5000
|
0.9
|
10000
|
0.1
|
Se le
permite hacer (a lo sumo) una
inversión al año y sólo puede invertir $5000 cada vez (cualquier cantidad
adicional de dinero acumulada es inútil). Utilice programación dinámica para
encontrar la política de inversión que maximice la cantidad de dinero esperada
que tendrá después de los tres años.
Solución:
Objetivo: maximizar cantidad
acumulada (esperada) después de los 3 años
Monto a invertir: solamente
$5000
Estados: $ acumulados (no
necesariamente se invierte todo)
Etapa 3
|
||||
s3
|
Solución óptima
|
|||
A
|
B
|
f3*(s3)
|
x3*
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
5000
|
(0.3)(0)+(0.7)(10000)=7000
|
(0.9)(5000)+(0.1)(10000)=5500
|
7000
|
A
|
10000
|
5000+(0.3)(0)+(0.7)(10000)=12000
|
5000+(0.9)(5000)+(0.1)(10000)=10500
|
12000
|
A
|
15000
|
10000+(0.3)(0)+(0.7)(10000)=17000
|
10000+(0.9)(5000)+(0.1)(10000)=15500
|
17000
|
A
|
Etapa
2
|
||||
s2
|
Solución
óptima
|
|||
A
|
B
|
f2*(s2)
|
x2*
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
5000
|
(0.3)(0)+(0.7)(12000)=8400
|
(0.9)(7000)+(0.1)(12000)=7500
|
8400
|
A
|
10000
|
(0.3)(7000)+(0.7)(17000)=14000
|
(0.9)(12000)+(0.1)(17000)=12500
|
14000
|
A
|
Etapa
1
|
||||
s1
|
Solución
óptima
|
|||
A
|
B
|
f1*(s1)
|
x1*
|
|
5000
|
(0.3)(0)+(0.7)(14000)=9800
|
(0.9)(8400)+(0.1)(14000)=8960
|
9800
|
A
|
Recuerda:
La cantidad a invertir en cada año es de $5000.
El valor de $9800 es una cantidad referencial que sirve para tomar la
decisión de inversión. No es la cantidad de dinero real que se puede obtener.
PROBLEMA 3
Una empresa ha recibido el encargo de fabricar un artículo, que, por
las características exigidas por el cliente deberá pasar controles de calidad
altos. Esto hace que la empresa estime que la probabilidad de que un artículo
producido sea considerado bueno es
2/3 (66.6667%) y de 1/3 (33.3333%) que sea considerado malo sin posibilidad de recuperarlo o arreglarlo. El plazo que
tiene la empresa para obtener al menos un artículo bueno es de 3 días, y la
producción del artículo implica ocupar el día en hacer andar la línea de
producción, fabricarlos y finalmente ver si salieron buenos; por lo que la
empresa tiene 3 intentos de fabricación para obtener el artículo bueno.
Por contrato con el cliente se acuerda que si la empresa no obtiene el
artículo bueno en los 3 días, en los 3 intentos, la empresa deberá pagar una
multa de $200 al cliente por indemnización o pérdida de tiempo.
También la empresa sabe que cada día que decide elaborar ese producto
incurre en un costo fijo de $20 por iniciar toda la línea de producción ese
día, y tiene un costo de $5 por cada unidad que decida fabricar.
Se pide encontrar la política óptima a seguir por la empresa en cuanto
a la producción de este artículo, para hacer mínimo el costo total de
producción y obtener al menos un artículo de buena calidad, según lo exigido.
Solución:
Etapas: Días de producción. (3 etapas).
Estados: Número de artículos buenos que se tiene la obligación de obtener.
0 :
indica que en esa etapa no se tiene
la obligación de obtener un artículo bueno.
1 :
indica que en esta etapa sí se tiene
la obligación de obtener un artículo bueno.
Decisión: Cantidad de artículos que se deberán fabricar
en esa etapa.
Costo por día: = K(xi)+5xi , donde: K=0 si xi=0, y K=20
si xi>0
Para cada artículo que se produzca la probabilidad de que salga bueno
es 2/3, y que salga malo es 1/3 (datos del problema). Por lo que, si produce 2
artículos la probabilidad de que los 2 salgan malos es: (1/3)*(1/3) = (1/3)2.
Si decide producir 3 artículos, la probabilidad de que los 3 salgan malos es de
(1/3)3, Generalizando, si se decide fabricar xi
artículos, entonces la probabilidad de que todos salgan malos es: (1/3)xi
Función recursiva:
Para cualquiera de las etapas contendrá lo que representa el costo de
esa etapa más el costo probable de la etapa siguiente si todos hubiesen salido malos, y más el costo probable de la
etapa siguiente si no todos hubiesen salidos malos (al menos uno salió bueno).
Y en la etapa n-ésima tendremos el
estado 0 y el estado 1. Tomemos el estado 1 para f.
f_n (1,x_n )=K(x_n )+5x_n+(1⁄3)^(x_n )
f_(n+1) (1)+〖(1-(1⁄3)〗^(x_n ))f_(n+1) (0)
donde:
K(xn) :
es el costo de producción fijo de $0 o de $200, según ese día produzca
artículos o no.
5xn :
representa el costo de $5 por unidad que se decida producir.
(1/3)xn :
representa la probabilidad de que los xn artículos salgan malos.
fn+1(1) :
es el costo que se tendrá en la etapa siguiente, si se llega a ella con la
obligación de
obtener un
artículo bueno. Este valor es: f*n+1(1).
(1/3)xnfn+1(1) : es el
costo probable desde la etapa siguiente en adelante, si todos los de esta etapa
salen malos.
(1-(1/3)xn) :
es la probabilidad de que no todos los xn artículos salgan malos;
alguno sale bueno.
fn+1(0) :
es el costo en que se incurrirá desde la etapa siguiente, si se llega a ella al
estado 0, es
decir sin la necesidad de producir un
artículo bueno, porque ya se obtuvo. Es f*n+1(0)
(1-(1/3)xn)fn+1(0) : es
el costo probable desde la etapa siguiente, si en esta etapa sale alguno de los
artículos bueno.
En el problema aquí dado, se tiene que f*n+1(0)
es cero, porque es cero el costo más bajo si no se tiene la obligación de
producir un artículo bueno, en cualquiera de las etapas. La etapa 1 tiene como
estado inicial: 1; es decir, en la etapa 1 se tiene la obligatoriedad de
obtener un artículo bueno.
ETAPA 3
|
||||||||
s3
|
f3(s3,x3)
= K(x3)+5x3
|
Solución óptima
|
||||||
x3=0
|
x3=1
|
x3=2
|
x3=3
|
x3=4
|
x3=5
|
f*3
|
x*3
|
|
0
|
0
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
0
|
0
|
1
|
200
|
91.6666667
|
52.2222222
|
42.4074074
|
42.4691358
|
45.8230453
|
42.4074074
|
3
|
Detalle de los cálculos:
f3(1,0) =
0 + 5*0 + (1/3)0*200 = 200
f3(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)1*200 =
91.6666667
f3(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)2*200 =
52.2222222
f3(1,3) =
20 + 5*3 + (1/3)3*200 = 42.4074074 (el costo probable sólo se reduce hasta aquí)
f3(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)4*200 =
42.4691358 (no considerar)
f3(1,5) = 20 + 5*5 + (1/3)5*200 =
45.8230453 (no considerar)
ETAPA 2
|
||||||||
s2
|
f2(s2,x2)
= K(x2) + 5x2 + (1/3)x2f*3(1) + (1-(1/3)x2)f*3(0)
|
Solución óptima
|
||||||
x2=0
|
x2=1
|
x2=2
|
x2=3
|
x2=4
|
x2=5
|
f*2
|
x*2
|
|
0
|
0
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
0
|
0
|
1
|
42.4074074
|
39.1358025
|
34.7119342
|
36.5706447
|
40.5235482
|
45.1745161
|
34.7119342
|
2
|
Detalle de los cálculos:
f2(1,0) =
0 + 5*0 + (1/3)0*42.4074074 = 42.4074074
f2(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)1*42.4074074
= 39.1358025
f2(1,2) =
20 + 5*2 + (1/3)2*42.4074074 = 34.7119342 (el costo probable sólo se reduce hasta aquí)
f2(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)3*42.4074074
= 36.5706447 (no considerar)
f2(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)4*42.4074074
= 40.5235482 (no considerar)
f2(1,5) = 20 + 5*5 + (1/3)4*42.4074074
= 45.1745161 (no considerar)
ETAPA 1
|
||||||||
s1
|
f1(s1,x1)
= K(x1) + 5x1 + (1/3)x1f*2(1) + (1-(1/3)x1)f*2(0)
|
Solución óptima
|
||||||
x1=0
|
x1=1
|
x1=2
|
x1=3
|
x1=4
|
x1=5
|
f*1
|
x*1
|
|
1
|
34.7119342
|
36.5706447
|
33.8568816
|
36.2856272
|
40.4285424
|
45.1428475
|
33.8568816
|
2
|
Detalle de los cálculos:
f1(1,0) =
0 + 5*0 + (1/3)0*34.7119342 = 34.7119342
f1(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)1*34.7119342
= 36.5706447
f1(1,2) =
20 + 5*2 + (1/3)2*34.7119342 = 33.8568816 (el costo probable sólo se reduce hasta aquí)
f1(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)3*34.7119342
= 36.2856272 (no considerar)
f1(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)4*34.7119342
= 40.4285424 (no considerar)
f1(1,5) = 20 + 5*5 + (1/3)5*34.7119342
= 45.1428475 (no considerar)
Costo
Mínimo Probable: 33.8568816
Solución
óptima: x1 = 2, x2 = 2, x3 = 3
PROBLEMA 4
Se debe fabricar un artículo con altas exigencias de calidad y se ha
estimado que la probabilidad de que apruebe el nivel de calidad y salga bueno
es de sólo 1/5 (20%) y los artículos malos son sin posibilidad de recuperación.
Poner en marcha las maquinarias un día para producir tiene un costo de $700 y
el costo por unidad que se decida producir es de $50, y se dispone de 3 días.
Si no se logra producir un artículo bueno en
los 3 días, por contrato deberá pagarse una multa de $2100. ¿Cuál es la
política de producción más conveniente a seguir durante estos 3 días para
lograr al menos un artículo bueno? ¿Cuál debe ser el piso para el precio de
venta de ese artículo bueno que se produzca?
ETAPA 3
|
|||||||||||||
s3
|
f3(s3,x3)
= K(x3)+50x3
|
Solución
óptima
|
|||||||||||
x3=0
|
x3=1
|
x3=2
|
x3=3
|
x3=4
|
x3=5
|
x3=6
|
x3=7
|
x3=8
|
x3=9
|
x3=10
|
f*3
|
x*3
|
|
0
|
0
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
0
|
0
|
1
|
2100
|
2430
|
2144
|
1925.2
|
1760.16
|
1638.128
|
1550.502
|
1490.402
|
1452.322
|
1431.857
|
1425.486
|
1425.5
|
10
|
ETAPA 2
|
|||||||||||
s2
|
f2(s2,x2) = K(x2)
+ 50x2 + (4/5)x2f*3(1) + (1-(4/5)x2)f*3(0)
|
Solución
óptima
|
|||||||||
x2=0
|
x2=1
|
x2=2
|
x2=3
|
x2=4
|
x2=5
|
x2=6
|
x2=7
|
x2=8
|
f*2
|
x*2
|
|
0
|
0
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
0
|
0
|
1
|
1425.486
|
1890.389
|
1712.311
|
1579.849
|
1483.879
|
1417.103
|
1373.683
|
1348.946
|
1339.157
|
1339.157
|
8
|
ETAPA 1
|
|||||||||||
s1
|
f1(s1,x1) = K(x1)
+ 50x1 + (4/5)x1f*2(1) + (1-(4/5)x1)f*2(0)
|
Solución
óptima
|
|||||||||
x1=0
|
x1=1
|
x1=2
|
x1=3
|
x1=4
|
x1=5
|
x1=6
|
x1=7
|
x1=8
|
f*1
|
x*1
|
|
1
|
1339.157
|
1821.325
|
1657.06
|
1535.648
|
1448.519
|
1388.815
|
1351.052
|
1330.842
|
1324.673
|
1324.673
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8
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Respuesta
1: La política de producción
más conveniente a seguir durante estos 3 días para lograr al menos un artículo
bueno es: Producir 8 artículos el día 1, y si salen todos malos, el día 2
producir 8 artículos, y si salen todos malos, producir 10 el día 3.
Respuesta
2: El piso para el precio de
venta de ese artículo bueno que se produzca es: $1324.673
También
podemos responder que:
El Costo Mínimo Probable es: $1324.673, y que la solución óptima es: x1 = 8 , x2 = 8 , x3 = 10
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